Question

如图，在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，.

（1）求证：平面；

（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设的中点为，连接，证明四边形是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明平面．

（2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

求出相关点的坐标，平面的法向量．平面的法向量，通过二面角结合数量积求解即可．

【解析】
（1）证明：设的中点为，连接，

点，分别是的中点，

，且，

，且，

四边形是平行四边形．

，又平面，平面，

平面．

（2）因为侧面底面，，面面，

面

面

面

又即

以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ，

令， ，，

，

平面，

即为平面的法向量．

设平面的法向量为，

则即．令，得．

若二面角为，

则，

解得，

在上，．．