Question

已知函数，其中为常数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若是的一条切线，求的值；

（3）已知，为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值.

Answer

(1)答案见解析；(2)0；(3)2.

【解析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设切点为则：，从而可得结果；（3）恒成立等价于对恒成立，构造函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后可得结果.

（1）函数的定义域为．

若时，则，所以在上单调递增；

若时，则当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增．

（2）设切点为则：，解得．

（3）当时，对任意，都有恒成立等价于对恒成立．

令，则，

由（1）知，当时，在上递增．

因为，所以在上存在唯一零点，

所以在上也存在唯一零点，设此零点为，则．

因为当时，，当时，，

所以在上的最小值为，所以，

又因为，所以，所以．

又因为为整数且，所以的最大值是．