Question

已知.

(1)求函数的定义域；

(2)求证：为偶函数；

(3)指出方程的实数根个数，并说明理由.

Answer

(1)；(2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.

【解析】

（1）根据对数函数的真数大于，列出不等式组求出的取值范围即可；

（2）根据奇偶性的定义即可证明函数是定义域上的偶函数．

（3）将方程变形为，即，设（），再根据零点存在性定理即可判断.

【解析】
（1）

，解得，即函数的定义域为；

（2）证明：∵对定义域中的任意，

都有

∴函数为偶函数；

（3）方程有两个实数根，

理由如下：

易知方程的根在内，

方程可同解变形为，即

设（）.

当时，为增函数，且，

则在内，函数有唯一零点，方程有唯一实根，

又因为偶函数，在内，函数也有唯一零点，方程有唯一实根，

所以原方程有两个实数根.