Question

已知函数对任意实数，都满足，且，，当时，.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)判断函数在上的单调性，并给出证明；

(3)若，求实数a的取值范围.

Answer

(1)为奇函数；(2)在上单调递减，证明见解析；(3).

【解析】

（1）令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；

（2）先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数在上的单调性；

（3）先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可

【解析】
（1）令，则.

∵，∴

∴函数为奇函数；

(2)函数在上单调递减.

证明如下：

由函数为奇函数得

当时，，，

所以当时，，

设，则，∴，

于是，

所以函数在上单调递减.

∵函数为奇函数，∴函数在上单调递减.

(3)∵，且，∴

又∵函数为奇函数，∴

∵，∴，函数在上单调递减.

又当时，.

∴，即，

故的取值范围为.