Question

如图，在三棱柱中，平面平面，，，为棱的中点．

（1）证明：；

（2）求三棱柱的高．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，，作为棱的中点，连结，，由平面平面，得到平面，则，再由，即可证明平面，从而得证；

（2）根据等体积法求出点面距.

（1）证明：连接，．

∵，，

∴是等边三角形．

作为棱的中点，连结，，∴．

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，

∴平行四边形是菱形．

∴．

又，分别为，的中点，

∴，∴．

又，平面，平面．

∴平面．

又平面，∴．

（2）【解析】
连接，∵，，

∴为正三角形．

∵为的中点，∴，

同理可得

又∵平面平面，

且平面平面，平面，

∴平面．

∴，

又三棱柱的高即点到平面的距离．

在中，，，则．

又∵，

∴，

则．