Question

已知等差数列与等比数列满足，，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.

Answer

（1），． （2）存在正整数，，证明见解析

【解析】

（1）根据题意，列出关于d与q的两个等式，解方程组，即可求出。

（2）利用错位相减求出，再讨论求出的最小值，对应的n值即为所求的k值。

（1）【解析】
设等差数列与等比数列的公差与公比分别为，，

则，解得，

于是，，．

（2）【解析】
由，

即，①

，②

①②得：，

从而得．

令,得,显然、所以数列是递减数列，

于是，对于数列，当为奇数时，即，，，…为递减数列，

最大项为，最小项大于；

当为偶数时，即，，，…为递增数列，最小项为，最大项大于零且小于，

那么数列的最小项为．

故存在正整数，使恒成立．