Question

已知等比数列的公比，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，是数列的前项和，对任意正整数不等式恒成立，求 的取值范围.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案；

（2）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案.

（1）因为，所以.

又因为，所以，，

所以数列的通项公式为.

（2）因为，

所以，

，

两式相减得，，

所以.

所以对任意正整数恒成立.

设，易知单调递增.

当为奇数时，的最小值为，所以，解得；

当为偶数时，的最小值为，所以.

综上，，即的取值范围是.