Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)证明:在上单调递增；

(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）用增函数定义证明；

（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．

（1）设，

则

，

∵，∴，，∴，即，

∴在上单调递增；

（2）总存在，对任意都成立，即，

的最大值为，

是偶函数，在是增函数，∴当时，，

∴，整理得，，

∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．