Question

设等比数列的最n项和，首项，公比.

（1）证明：；

（2）若数列满足，，求数列的通项公式；

（3）若，记，数列的前项和为，求证：当时，.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）由已知且，利用等比数列的通项公式可得，利用等比数列的求和公式可证；
（2）由，可得，从而可得是等差数列，从而可求；

（3）可得，利用错位相减法可得，通过计算得，得数列为单调递减数列，进而可证明.

证明：（1）由已知且，所以，
所以，
即；
（2）由已知，所以，
所以，是首项为2，公差为1的等差数列，
，
所以数列的通项公式为；

（3）当时，，

，

，

，

两式相减得：

，

，

当时，，

整理得：，

故当时，数列为单调递减数列，故，

故当时，.