Question

已知是定义在上的函数，且.若对任意，，恒成立，，且当时，.

(1)试判断函数上的单调性，并用定义法证明；

(2)求不等式的解集.

Answer

(1)单调递增，证明见解析；(2)

【解析】

（1）设,则,则,利用可得,进而判断与1的大小关系,即可证明；

（2）转化为,利用赋值法可得,进而由函数单调性求解即可

(1)函数在上为增函数,

证明:设,则,

因为当时,,

所以,

因为,

所以由得,,

所以,

又由条件知,所以,

所以函数在上为增函数

(2)令,可得,则,

由题,

所以等价于,

即,

由(1)知函数在上为增函数,所以,

整理得,即,

所以,解得,

故原不等式的解集为