Question

已知二次函数满足:，的最小值为1，且在轴上的截距为4.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)若存在区间，使得函数的定义域和值域都是区间，则称区间为函数的“不变区间”.试求函数的不变区间；

(3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由，得对称轴是，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；

（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解．

（3）求出在的最大值4，对函数

换元，得，，由用分离参数法转化．

（1）∵，∴对称轴是，又函数最小值是1，可设（），

∴，．

∴．

（2）若，则，，∴且，解得．∴，不变区间是；

若，则在上是减函数，∴或4，因为，所以舍去；

若，则在上是增函数，∴，

∴是方程的两根，

由得，，不合题意．

综上；

（3），时，，

设，令，当时，．

，

由题意存在，使成立，即，

时，的最小值是，

所以．