Question

已知平行四边形中，，，，是线段的中点，沿将翻折到，使得平面平面.

 

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）首先证出，再利用面面垂直的性质定理即可证出.

（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（1）由题意可知，，，

即，故.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面，且，

以为原点，，，所在直线分别为，，轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

由于是线段的中点，所以在平面中，

，.

设平面的法向量为，则，即，

令，得，

所以平面的一个法向量为，

而平面的一个法向量为.

故，易知二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.