Question

已知函数，.

（1）若，试求函数的零点个数；

（2）当，对，且满足，试判断与的大小关系，并说明理由.

Answer

（1）一个零点；（2），理由见解析

【解析】

（1）把代入函数解析式，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系求出函数的最大值，进而可确定函数的零点；

（2）把代入函数的解析式，由，即，令，可得，利用导数可得，从而可得，进而可比较出大小；

（1）当时，，，

此时，

则当时，；当时，；

易知函数在区间单调递增，在区间单调递减；

所以（当且仅当取等号），

故当时，函数只有一个零点；

（2），理由如下：当时，，，

由，即，

从而，令，

则由，得，

可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以有，所以，

因此，，由上可知，这里取到等号需要，

而此时无实数解，故必有.