Question

设数列前n项和为，且其中m为实常数， 且.

（1）求证：是等比数列；

（2）若数列的公比满足且，，求证：数列 是等差数列，并求的通项公式；

（3）若时，设，求数列的前n和.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析，（3）

【解析】

（1）根据所给的关系式，仿写一个关系式，两式相减得到连续两项的比值等于常数，故得结果；

（2）根据求出的值，再根据题意得到关于数列的表达式，两边除以可证为等差数列，求出新数列的表达式，进而求出数列的表达式；

（3）将代入可得的通项公式，利用错位相减法求结果即可.

（1）由，得，

两式相减得，

∴.由，解出，

∴是以1为首项，为公比的等比数列.

（2）由，解出，∴.

，且时，

，，推出.

∴是以1为首项，为公差的等差数列.

∴，∴.

（3）若，则，所以，又，

∴.

.

∴.