Question

已知函数，．

（Ⅰ）记，试判断函数的极值点的情况；

（Ⅱ）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求导后可知的符号由的符号决定；根据的单调性，结合存在性定理可知存在唯一的，使得，从而得到得单调性，根据极值与单调性的关系可确定极值点；（Ⅱ）将所求不等式化为；当和时，根据（Ⅰ）的结论可验证出都有无穷多个整数解，不合题意；当时，若，由时，可知无整数解，不合题意；若，可知，解不等式组求得结果.

（Ⅰ）由得：

设，则在上单调递增

又，

存在唯一的，使得，即

当时，；当时，

在上单调递减；在上单调递增

为的极小值点，无极大值点

（Ⅱ）由得：，即

①当时，恒成立，有无穷多个整数解，不合题意

②当时，，

， 当时，由（Ⅰ）知：

有无穷多个整数解，即有无穷多个整数解，不合题意

③当时，

i.当时，，又

两个整数解为：

，解得：

ii.当时，

当时，由（Ⅰ）知： 无整数解，不合题意

综上所述：