Question

已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；

（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3））当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.

试题解析：（1）∵过椭圆的右焦点，

∴右焦点，即，

又∵的焦点为椭圆的上顶点，

∴，即，

∴椭圆的方程；

（2）由得，，

设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

综上所述，当变化时，的值为定值；

（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：

∵，

∵，

∴，即三点共线.

同理可得三点共线，

则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.