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已知直线过椭圆的右焦点,抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且交椭圆于两点,点在直线上的...

已知直线过椭圆的右焦点,抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且交椭圆两点,点在直线上的射影依次为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线轴于点,且,当变化时,证明:为定值;

(3)当变化时,直线是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

 

(1);(2)见解析;(3). 【解析】 试题(1)由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标,即可得出、的值,再求出的值即可求得椭圆的方程;(2)设,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得出与,再根据及,从而可表示出,化简即可得证;(3))当时,易得与相交于点,可猜想:变化时,与相交于点,再证明猜想成立即可. 试题解析:(1)∵过椭圆的右焦点, ∴右焦点,即, 又∵的焦点为椭圆的上顶点, ∴,即, ∴椭圆的方程; (2)由得,, 设,则, ∵, ∴, ∴, ∴, 综上所述,当变化时,的值为定值; (3)当时,直线轴,则为矩形,易知与是相交于点,猜想与相交于点,证明如下: ∵, ∵, ∴,即三点共线. 同理可得三点共线, 则猜想成立,即当变化时,与相交于定点.
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频数

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40

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配方的频数分布表

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5

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