Question

经统计分析，我市城区某拥挤路段的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当该路段的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为40千米/小时；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，该拥挤路段车流量（单位时间内通过该路段某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.

Answer

（1）（2）当车流密度为时，车流量可以达到最大，最大值为2025辆/小时

【解析】

（1）根据自变量的取值不同，根据题意，写成分段函数；

（2）由（1）求得，从而得到，考虑其单调性，从而求解最大值.

（1）由题意，当时，；

当时，设.

由已知得，

解得.

故函数的表达式为

.

（2）依题意及（1）可得，

.

当时，为增函数，

故当时，其最大值为；

当时，

.

所以当时，

在区间上取得最大值2025.

综上，当时，

在区间上取得最大值，

即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为2025辆/小时.