Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，，，E、F分别是PC和AB的中点．

（1）证明：平面PAD；

（2）若，求PD与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）在平面PAD中寻找EF的平行线，由线线平行，推证线面平行即可；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，通过向量法求解.

（1）取PD中点为M，根据题意作图如下：

因为E、M均为三角形PCD中两边中点，

则，且，

而，，

故AF//EM，且AF=EM，

则四边形AMEF为平行四边形.

故．

又EF不在面PAD，面PAD，

故面PAD．

（2）由题设知底面ABCD，

故PA

，又，故平面PAB

因为//AD，

故平面PAB

又面PAB

则ADAB

综上所述：ADAB

且菱形ABCD为正方形，由AC=4，

解得正方形ABCD的边长为.

以A为坐标原点，过点A，作BD的平行线为轴，

建立如图空间直角坐标系，

则，则，，，

设平面PBC的法向量为，则

，即

取，又

设PD与平面PBC所成角为，则

．

故直线PD与平面PBC所成角的正弦值为.