Question

已知函数．

（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）若对任意都恒成立，求证：a的最大值大于8．

Answer

（1）；（2）证明见详解.

【解析】

（1）将问题转化为有两个不同的实数根，分离参数，构造新的函数，利用导数研究函数单调性和值域，从而求参数范围；

（2）将恒成立问题，经过分离参数后，转化为函数最值的问题，从而进行证明.

（1）由

可得，

函数有两个极值点等价于有两个不同的实数根，

也等价于 有两个不同的实数根（显然不是根）

令，则，

在单减，上单减，上单增；

且时，，

时，，

有两解，需，即，

下证是有两解的必要条件：

当时，，，，

在上有且只有一个解，

又因为，.

在上有且只有一个解，

综上所述：；

（2）因为等价于：

等价于对恒成立，

①当或1时，满足；

②当时，显然大于0，

故恒成立，

等价于恒成立，

等价于恒成立.

而欲证

即证即可.

就是证：

也就是证明：

，对任意的恒成立.

先证：，．

令，．

因为，

所以在上单调递增，

则有，

，．

所以，要证，，

需证，，

即证恒成立

也就是证：恒成立

而显然成立，

故恒成立

即恒成立

，对任意的恒成立.

成立

故成立，即证.