Question

有限数列同时满足下列两个条件：

①对于任意的（），；

②对于任意的（），，，三个数中至少有一个数是数列中的项．[来

（1）若，且，，，，求的值；

（2）证明：不可能是数列中的项；

（3）求的最大值．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）的最大值为

【解析】

（1）由①，得．

由②，当，，时．,,中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得．

经检验，当时，符合题意．

（2）假设是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且．

由①，．

对于数，由②可知：；对于数，由②可知：． 6分

所以，这与①矛盾．

所以不可能是数列中的项．

（3）的最大值为，证明如下：

（1）令，则符合①、②．

（2）设符合①、②，则：

（ⅰ）中至多有三项，其绝对值大于1．

假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中．

则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项．

同理：也是数列中的项．

但，．

所以．

所以，这与①矛盾．

（ⅱ）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．

假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾．

（ⅲ）中至多有两项绝对值等于1．

（ⅳ）中至多有一项等于0．

综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知中至多有9项．

14分

由（1），（2）可得，的最大值为9．