Question

定义在上的函数同时满足以下条件：①在上为减函数，上是增函数；②是偶函数；③在处的切线与直线垂直.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若对，使成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据条件①②③得到关于的方程组，从而解得的值，得到答案；（2）根据得到不等式，参变分离得到，设，则，利用导数得到的最大值，从而得到的范围.

（1）函数，

则，

因为在上为减函数，上是增函数；

则是的极小值点，

所以，即

因为是偶函数，所以，

即，

得，

因为在处的切线与直线垂直，

所以在处的切线斜率为，

即，

所以得到，

所以.

（2），若对，使成立

得到对，恒成立，

即，对恒成立，

设，则，

，

设，

则，

，所以，

所以在单调递减，即单调递减，

所以，

所以在恒小于，即在上单调递减

所以

所以，

故实数的取值范围为