Question

已知函数有两个零点.

（1）求实数的取值范围；

（2）设、是的两个零点，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则最小值小于，得到的范围，再利用零点存在定理证明所求的的范围符合题意；（2）利用分析法，要证，将问题转化为证明，设函数，利用导数研究的单调性，从而进行证明.

函数，

所以，

当时，在上恒成立，所以在上单调递增，

至多只有一个零点，不符合题意，

当时，由得，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以时取得极小值，也是最小值，

要有两个零点，则，

即，解得，

所以，

当时，得，

当时，，

设，则

所以单调递增，则，

所以，

所以在区间上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点，

所以满足有两个零点的的取值范围为.

（2）、是的两个零点，则，

要证，即证，

根据，

可知，，

即证，

即证，即证，

即证，

设，，

由（1）知在上单调递增，

故只需证明，

而，所以只需证

令，且

所以，，

所以在上单调递减，

所以，

所以在上恒成立，

所以，

故原命题得证.