Question

已知函数，.

（1）证明：曲线在点处的切线与曲线相切；

（2）当时，证明.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求出的导数，计算，，可得切线方程，令，得，验证点在直线上即可得结果；

（2）设，利用导数判断函数的单调性，求出其最小值大于0即可.

证明：（1），

则，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

由，得，，，

因为点在直线上，

所以直线与曲线相切于点.

故曲线在点处的切线与曲线相切.

（2）设，，

当或时，；

当时，，

即函数的单调增区间为，，减区间为，

所以在处取得极小值，且极小值为，，

由于，即函数在的最小值为，

所以当时，，即.