Question

己知函数，它的导函数为.

（1）当时，求的零点；

（2）若函数存在极小值点，求的取值范围.

Answer

（1）是的零点；（2）

【解析】

（1）求得时的，由单调性及求得结果.

（2）当时，，易得存在极小值点，再分当时和当时，令，通过研究的单调性及零点情况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值情况，综合可得结果.

（1）的定义域为，

当时，，.

易知为上的增函数，

又，所以是的零点.

（2），

① 当时，，令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.

令，则.

② 当时，，所以在上单调递增.

又，，

所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.

③ 当时，令，得.

当）时，；当时，，

所以.

若，即当时，恒成立，

即在上单调递增，无极值点，不符合题意.

若，即当时，，

所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，

所以是的极小值点，符合题意.

综上，可知，即的取值范围为.