Question

已知函数，其中．

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，试证明：．

Answer

（1）在区间上为减函数；在区间上为增函数．（2）证明见解析

【解析】

（1）对函数进行求导得，再对分成和两种情况讨论，从而得到函数的单调性；

（2）将不等式等价于，再对分成和两种情况讨论.

（1）由 知：

（i）若，，∴ 在区间上为增函数．

（ii）若，

∴当时，有，∴ 在区间上为减函数．

当时，有，∴ 在区间上为增函数．

综上：当时，在区间上为增函数；

当时，在区间上为减函数；在区间上为增函数．

（2）若，则

要证，只需证，

即证：.

（i）当时，，而

∴此时成立.

（ii）当时，令，，

∵ ，

设，

则

，∴

∴当时，单调递增，∴，即

∴在单调递增，∴

即，即，

∴

综上：当时，有成立.