Question

已知，.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若关于的方程存在两个正实数根，证明:.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求出导函数，得出切线斜率，即可得到切线方程；

（2）将方程的根的问题转化为构造函数，分类讨论单调性即可得证.

（1）解:∵，

∴，，

∴曲线在点处的切线方程为.

（2）证明:由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根，记这两个正实数根为，

由，知，

令，则，

当时，，在上单调递增;

当时，，在上单调递减.

所以.

因为有两个零点，即，

所以，解得.