Question

设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，直线交圆于，两点，过点作的平行线交于点.

（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.

Answer

（1）证明见解析，（2）

【解析】

（1）由，，故，所以，得到，化简得，利用椭圆的定义，即可求解；

（2）设的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，结合弦长公式和三角形的面积公式，即可求解．

（1）因为，，故，

所以，故，

又圆的标准方程为，

从而，所以，

由题设得，，，

由椭圆定义可得点的轨迹方程为.

（2）当与轴不垂直时，设的方程为，，，

由得，

则，，

所以，

过点且与垂直的直线，到的距离为，

所以，

故四边形的面积，

可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为，

当与轴垂直时，其方程为，，四边形的面积为，

综上，四边形面积的取值范围为.