Question

已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求实数a的值；

（2）判断该函数在定义域R上的单调性（不要求写证明过程）.

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（4）设关于x的函数有零点，求实数b的取值范围.

Answer

（1）；（2）减函数；（3）；（4）

【解析】

（1）利用可构造方程求得结果；

（2）通过分离常数的方法可判断出函数的单调性；

（3）利用奇偶性将不等式变为，利用单调性得到自变量的大小关系，利用分离变量的方式将问题转化为，通过求解二次函数的最小值求得结果；

（4）利用奇偶性将问题转化为方程有根，根据单调性得到方程有根，进而得到；根据二次函数型的复合函数的值域求解方法可求得，从而求得结果.

（1）为定义在上的奇函数 ，解得：

（2）由（1）知：

为上的增函数 为上的减函数

为上的减函数

（3）由得：

由（2）知：为上的减函数 ，即

，即的取值范围为

（4）有零点等价于方程有根

即方程有根

为上的减函数 ，即

当时，取得最小值，最小值为

若有根，则

即当时，函数有零点