Question

已知二次函数.

（1）若为偶函数，求在上的值域；

（2）若的单调递减区间为，求实数a构成的的集合；

（3）若时，的图像恒在直线的上方，求实数a的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据偶函数的对称性，求出，结合函数图像，即可求出在上的值域；

（2）根据二次函数的单调性，确定对称轴满足的条件，即可得出结论；

（3）时，的图像恒在直线的上方，即，

恒成立，分离参数，转化为参数与函数的最值关系，或设，分类讨论求出时的最小值，进而解不等式，求出参数范围.

（1）根据题意，函数，

为二次函数，其对称轴为，

若为偶函数，则，

解可得；则，

又由，则有，

即函数的值域为；

（2）根据题意，函数，

为二次函数，其对称轴为，

若在区间上是减函数，

则，则，所以a的取值范围是；

（3）由题意知时，恒成立，

即，

方法一：所以恒成立，

因为，所以，

当且仅当，即时取得“=”，

所以，解得，所以a的取值范围是.

方法二：令，

所以只需，对称轴为，

当，即时，，

解得，故；

当，即时，

，

解得，故；

当，即时，，

解得，舍去；

综上所述，a的取值范围是.