Question

如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

（Ⅲ）当的长为何值时，二面角的大小为．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）利用面面垂直的性质，可得平面，再利用线面垂直的判定，证明平面，从而利用面面垂直的判定可得平面平面；（2）确定为直线与平面所成的角，过点作，交于，计算，即可求得直线与平面所成角的大小；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得的长．

试题解析：（1）∵平面平面，

平面平面，∴平面，

∵平面，∴，

又∵为圆的直径，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面

（2）根据（1）的证明，有平面，

∴为在平面内的射影，

因此，为直线与平面所成的角，

∵，∴四边形为等腰梯形，过点作，交于，

，则，

在中，根据射影定理，得，

，∴，

∴直线与平面所成角的大小为30°

（3）

设中点为，以为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为，则，又，∴，

设平面的法向量为，则，即，

令，解得．

∴．

由（1）可知平面，取平面的一个法向量为，

∴，即，解得，

因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60°．