Question

设抛物线：的焦点为，准线为，，以为圆心的圆与相切于点，的纵坐标为，是圆与轴的不同于的一个交点.

（1）求抛物线与圆的方程；

（2）过且斜率为的直线与交于，两点，求的面积.

Answer

（1）：，：；（2）.

【解析】

（1）由抛物线的定义，结合，确定的坐标，根据是线段垂直平分线上的点，建立方程，即可求抛物线与圆的方程；

（2）求出过且斜率为的直线的方程，与抛物线方程联立，求出，的坐标，进而求出和到直线的距离，即可求的面积．

（1）如图：

由抛物线的定义知，圆经过焦点，，

点的纵坐标为，又，则，，

由题意，是线段的垂直平分线上的点，又，

故，解得，则，，圆的半径，

故抛物线：，圆：；

（2）由（1）可知，直线：，由，解得或，

如图：

设，，则，到直线的距离，

所以的面积.