Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，，BD＝2．

（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF∥平面PAB；

（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）．

【解析】

（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.

（2）过A作AN⊥PB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，确定则∠ANC 为二面角A﹣PB﹣C 的平面角，计算得到答案.

（1）取AP的中点为H，连接EH，HB；

由E，H分别为PD，PA的中点，则EH∥AD且；

又F为BC的中点，则BF∥AD且；

所以EH∥BF且EH＝BF，则四边形BFEH为平行四边形；

所以EF∥BH，又HB平面PAB；

所以EF∥平面PAB；

（2）过A作AN⊥PB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，

在△PBD中O为AC的中点，PD＝PB，则PO⊥BD；

又平面PBD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；

在△PBD中，PD⊥PB，BD＝2．则PD＝PB；

由题意有PA＝PC，AO＝2，，

在等腰三角形APB中，；

由△PAB≌△PCB，则CN⊥PB；CN＝AN

在△ACN中，；

故平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．