Question

如图，已知椭圆，过动点M（0，m）的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P（其中P在第一象限，N在椭圆内），且M是线段PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，延长QM交C于点B，记直线PM，QM的斜率分别为k₁，k₂．

（1）当时，求k₂的值；

（2）当时，求直线AB斜率的最小值．

Answer

（1）k2＝1（2）最小值为1．

【解析】

（1）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），计算得到，得到答案.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y＝kx+m，（k＞0），联立方程计算得到，代入数据利用均值不等式计算得到答案.

（1）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．

所以直线PM的斜率；直线QM的斜率；

此时．当时k2＝1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

直线PA的方程为y＝kx+m，（k＞0）

由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0

，即；

所以；

直线QB的方程为y＝﹣3kx+m．

同理有：，，

2，

当且仅当，即时取等号；

故直线AB 的斜率的最小值为1．