Question

如图，△ABC为正三角形，且BC＝CD＝2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．

（1）当AD＝2时，求证：平面ABD⊥平面BCD；

（2）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60°，求AD的长．

Answer

（1）见解析（2）．

【解析】

（1）根据长度关系得到AE⊥平面BCD，得到证明.

（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ⊥平面ACD，计算HQ，AH，计算得到答案.

（1）若AD＝2，又AB＝AC＝2，则A在底面BCD内的射影为△BCD的外心，

∵△BCD为直角三角形，且∠BCD＝90°，

∴A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，

∴AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCD；

（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，

可得BC⊥平面AOE，过A作AH⊥OE于H，过H作HN∥BC交CD于N，

连接AN，作HQ⊥AN于Q，得HQ⊥平面ACD，

点B到平面ACD的距离为2HQ，则sin60，得HQ，

设AH＝x，有，解得x，即AH，

又AO，∴H与O重合，

则AD．