Question

已知离心率的椭圆的一个焦点为，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过原点且与坐标轴不垂直的直线与曲线交于两点，且点，求面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据 即可求出椭圆方程．

（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式，求出的值，再利用点到直线距离，求出三角形的高，即可写出面积的表达式，对参数k讨论求出面积最大值．

（Ⅰ）根据题意得，∴.

∴. 故椭圆的方程为.

（Ⅱ）根据题意：设直线的方程为，

由得．

设

∴，，

∴

.

又∵点到直线的距离，

∴ ，

，

① 当时，；

② 当时，……11分

综上所述，的面积的最大值为．