Question

已知椭圆的离心率为，焦距为，与抛物线有公共焦点.

（1）求椭圆C₁与抛物线的方程；

（2）已知直线是圆的一条切线，与椭圆C₁交于两点，若直线斜率存在且不为，在椭圆C₁上存在点，使，其中为坐标原点，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）椭圆C1：，抛物线：；（2）

【解析】

（1）由题意布列方程组即可得到椭圆C1与抛物线的方程；

（2）由题意，可设直线，利用相切可得，把代入并整理得：，而可化为，借助韦达定理可得P点坐标，代入椭圆方程得到关于实数λ的函数关系，进而求值域即可.

（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，，，

解得，∴椭圆C1的方程为，，，

抛物线的方程为．

（2）由题意，可设直线，

∵与圆相切，∴，即，

把代入并整理得：，

，即，即，

设，则有，，

条件可化为，由题意，

∵，∴

又∵点P在椭圆上，∴，

∴，

∵，∴且，

∴且，

∴的取值范围为.

∴的取值范围为