Question

如图，是抛物线的焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点，其中，．过点作轴的垂线交抛物线于点，直线交抛物线于点.

（1）求的值；

（2）求四边形的面积的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去，得到关于的二次方程，利用韦达定理结合可求出正数的值；

（2）由直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，并设点，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出，求出点的坐标，可得出点的坐标，并可得出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点的坐标，并分别计算出点、到直线的距离、，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，设，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.

（1）设方程为，与联立，消去整理得，

所以，得（舍去）或；

（2）由（1）知抛物线方程为，，准线方程为.

因为直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，，

由得，，，

所以，

令，则，所以，，

直线的方程为，由得，

所以，，代入，得，所以.

到直线的距离为，到直线的距离为，

所以四边形的面积，

令，则，令，则.

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以，当时，有最小值，

因此，四边形的面积的最小值为.