Question

已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

Answer

(1)见详解；(2) 3或.

【解析】

（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.

（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.

(1)证明：设,,则．

又因为，所以.则切线DA的斜率为，

故，整理得.

设，同理得.

,都满足直线方程.

于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，

当时等式恒成立．所以直线恒过定点.

（2）由（1）得直线的方程为.

由，可得，

于是

.

设分别为点到直线的距离，则.

因此，四边形ADBE的面积.

设M为线段AB的中点，则，

由于，而，与向量平行，所以，解得或.

当时，；当时

因此，四边形的面积为3或.