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已知椭圆C:1(a>b>0),椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1. ...

已知椭圆C1ab0),椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1

1)求椭圆C的标准方程;

2)求椭圆C上的点到直线l4x5y+400的最小距离?

 

(1).(2). 【解析】 (1)根据题意列出方程组,求出,,,从而求出椭圆的标准方程. (2)由题可知直线与椭圆不相交,将直线平移,可知其与椭圆相切时,切点到直线的距离最小或最大,据此可设直线平行于直线,将之与椭圆方程联立,进而得解. (1)因为椭圆C上的点到焦点距离的最大值为9,最小值为1, 所以a+c=9,a﹣c=1, ∴a=5,c=4, ∴b2=a2﹣c2=9, ∴椭圆的标准方程为:; (2)由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交, 设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x﹣5y+k=0, 联立,整理得25x2+8kx+k2﹣225=0, 令△=0,得64k2﹣4×25(k2﹣225)=0 解得k1=25或k2=﹣25, ∴当k1=25时,直线m与椭圆交点到直线l的距离最近, 此时直线m的方程为4x﹣5y+25=0, 直线m与直线l间的距离d, 所以,椭圆C上的点到直线l:4x﹣5y+40=0的最小距离是.
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分组

频数

频率

[4050

A

0.04

[5060

4

0.08

[6070

20

0.40

[7080

15

0.30

[8090

7

B

[90100]

2

0.04

合计

C

1

 

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