Question

已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，与x轴交于点.若A为线段的中点，则（    ）

A.9 B.12 C.18 D.72

Answer

A

【解析】

解法一：根据为线段的中点，得到坐标，从而得到直线，与抛物线联立得到，从而得到，利用抛物线焦点弦公式，得到的长；解法二：延长交准线于，过点作垂直准线交准线于，过点作垂直准线交准线于，准线与轴交于点，由，得到，得到，再根据，得到的长.

依题意得，焦点，

如图，因为为线段的中点，

所以，代入抛物线方程得到，舍去正值，

所以，

解法一：，

所以直线的方程为，

将其代入，得，

设，，则，，

所以，

故选：A.

解法二：（几何法）延长交准线于，过点作垂直准线交准线于，

过点作垂直准线交准线于，准线与轴交于点，

中原点是线段的中点，

所以点是线段的中点.易得，

，，

设，

因为，

所以，

即，

解得，

因此，

故选：A.