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已知定点,圆,点为圆上动点,线段的垂直平分线交于点,记的轨迹为曲线. (1)求曲...

已知定点,圆,点为圆上动点,线段的垂直平分线交于点,记的轨迹为曲线.

1)求曲线的方程;

2)过点作平行直线,分别交曲线于点和点,求四边形面积的最大值.

 

(1);(2). 【解析】 (1)由中垂线的性质得,可得出,符合椭圆的定义,可知曲线是以、为焦点的椭圆,由此可得出曲线的方程; (2)设直线的方程为,设点、,将直线的方程与曲线的方程联立,列出韦达定理,利用弦长公式计算出,同理得出,并计算出两平行直线、的距离,可得出四边形的面积关于的表达式,然后利用双勾函数的单调性可求出四边形面积的最大值. (1)由中垂线的性质得,, 所以,动点的轨迹是以、为焦点,长轴长为的椭圆, 设曲线的方程为,则,, 因此,曲线的方程为:; (2)由题意,可设的方程为, 联立方程得, 设、,则由根与系数关系有, 所以, 同理,与的距离为, 所以,四边形的面积为, 令,则,得, 由双勾函数的单调性可知,函数在上为增函数, 所以,函数在上为减函数, 当且仅当,即时,四边形的面积取最大值为.
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