Question

已知椭圆的焦距为2，过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为F，定点，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.

Answer

（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）根据题意列方程组，求解，，即可.

（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，与椭圆方程联立，得到，，由题意可知，，则，确定的方程，由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，求解，即可.

（1）由题知 ， 解得，，

所以椭圆的方程为；

（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，

由 得，

则，，

因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则，

则，故的方程为： ，

由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则

，

而，，，

所以，

故直线恒过定点，且定点为.