Question

已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.

（1）求E的方程：

（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由

Answer

（1）（2）存在x轴上的定点，使得

【解析】

（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于，的方程组，解得，的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点，对称性可知设，根据，得到，即得，直线的方程为：与椭圆联立，得到，，从而得到和的关系式，根据对恒成立，从而得到的值.

（1）因为椭圆E的离心率，所以①，

点在椭圆上，所以②，

由①②解得，.

故E的方程为.

（2）假设存在定点，使得.

由对称性可知，点必在轴上，故可设.

因为，所以直线与直线的倾斜角互补，因此.

设直线的方程为：，，

由消去，得，

，所以，

所以，，

因为，所以，

所以，即.

整理得，

所以，即.

所以，即，对恒成立，

即对恒成立，所以.

所以存在定点，使得.