Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为上异于的点.

（1）求证：平面平面；

（2）当与平面所成角为时，求的长；

（3）当时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由为正方形，可得．又平面，得．利用线面垂直的判断可得平面．从而得到平面平面；

（2）以为原点建立空间直角坐标系．可得，0，，，2，，，2，，，0，，，0，．设是上一点，且，．由此可得点，，．即，，．利用与平面所成角为列式求得值，进一步求得的长；

（3）结合（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

证明：（1）为正方形，．

平面，平面，

．

，平面，平面

平面．

又平面，

平面平面；

【解析】
（2）平面，平面，平面，

，．

底面为正方形，．

如图以为原点建立空间直角坐标系．

则， ，， ， ，

．，

设是上一点，且，．

因此点，

，

，

，

即

，此时；

【解析】
（3），，

平面．

为平面的法向量，

，．

设平面的法向量为，

由，取，得．

，，

设与的夹角为，．

由图可知二面角为锐角，

二面角的余弦值为．