Question

平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为

【解析】

试题（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；

（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；

（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．

试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．

因为抛物线的焦点为，所以，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）（1）设，由可得，

所以直线的斜率为，其直线方程为，即．

设，联立方程组

消去并整理可得，

故由其判别式可得且，

故,

代入可得，

因为，所以直线的方程为．

联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．

（2）由（1）知直线的方程为，

令得，所以，

又，

所以，，

所以，令，则，

因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，

所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．