Question

某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.

方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组个人的血总共需要化验次.

假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设.试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.

Answer

（1）见解析（2）390次

【解析】

（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为,则每个人的血呈阴性反应的概率为.由独立性事件概率性质可得个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为得其分布列.

（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数.当时,.将分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为.

依题意可知,所以的分布列为：

P

（2）方案②中.

结合（1）知每个人的平均化验次数为：

,

所以当时,,此时960人需要化验的总次数为662次,

时,,此时960人需要化验的总次数为580次,

时,,此时960人需要化验的次数总为570次,

即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少

而采用方案①则需化验960次,

故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少次.