Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：.

Answer

（Ⅰ）在区间上单调递减，在上单调递增 （Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求导得到，设，根据其单调性得到的单调性.

（Ⅱ）先证明当时，（）恒成立，计算得到在及处均取极小值，且，即，得到，得到证明.

（Ⅰ），（）.

设（），则，易知在区间单调递减，在单调递增，

所以，则当时，成立，

易知在区间上，单调递减，在上，单调递增，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（）.

令（），

下面考察当时，的根的情况，从而讨论的正负情况.

先证明当时，（）恒成立，

设，则，，

设，则在时恒成立，

故在时单调递增，故，

故在时单调递增，故.

则，（），

所以有，，而，

必存在，，使得，所以此时在区间，上，

单调递增，在，上，单调递减；

所以在及处均取极小值，且，即，

又，因为，所以有，即，同理有.

即，所以当时，成立.