Question

如图，在多面体中，平面，四边形为菱形，四边形为梯形，且，，，，M为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面将多面体分成的两个部分的体积之比.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）延长交于点G，连接,易证,可得，

可得四边形为平行四边形，可得，平面；

（2）分别计算出三棱柱的体积与三棱锥的体积，可得体积之比.

证明：延长交于点G，连接,

.

由，M为中点，易证，

所以.

因为，所以.

由已知，且，又，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

因平面，平面，

所以平面.

（2）【解析】
由（1）可得，多面体被平面分成的两个部分是三棱锥和三棱柱.

因为平面，又平面，所以.

又易得，所以平面.

所以即为三棱柱的高.

所以三棱柱的体积，

又易得三棱锥的体积，

所以多面体被分成的两个部分体积比为.