Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点．

（1）若平面，求证：点为中点；

（2）求证：平面平面．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA∥平面MBD证明PA∥OM，利用平行四边形证明M是PC的中点；

（2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断△ABD是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD．

（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；

因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MBD＝OM，

所以PA∥OM；

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是AC的中点，

所以M是PC的中点；

（2）△ABD中，AD＝2，AB＝1，∠BAD＝60°，

所以BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD＝3，

所以AD2＝AB2+BD2，所以AB⊥BD；

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；

又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PCD；

因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．