Question

记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.

(1)求椭圆M的方程；

(2)设直线l与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

(1);(2)6.

【解析】

(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线 .

由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.

(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，

∴椭圆的方程为.

(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线 .

由得，.

令得，.

联立与，化简得.

设A()，B()，则

∴，而原点O到直线的距离

∴.

当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，

∴.

综上所述，的面积为定值6.